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什么是正弦定理 证明常用哪4种方法

2023-06-13 20:12:14 匠子生活

正弦定理是在三角形ABC中,已知三边a、b、c和其中一个角A(角A必须是非直角角度),求角A所对边a的长度的定理。其公式表达式为:a/sinA = b/sinb = c/sinC,其中sinA表示角A的正弦值,a表示角A所对边的长度,B、C与b、c的含义同理。可以利用正弦定理的定义推导、利用三角形面积公式推导、利用海伦公式推导、利用欧几里得法证明等。

利用正弦定理的定义推导:对于任意的三角形ABC,都满足以下关系:a/sinA = b/sinB = c/sinC。

对于三角形ABC中的任何一个非直角角度A:sinA = a/b * sinB = a/c * sinC,这就是正弦定理的证明。利用欧几里得法证明:对于任何平面三角形ABC,再单独考虑其中的某一个角A。假设其高H与BC相交的点为D,则有:BD/AH = c/b,AD/AH = sinB,AD/BD = AC/BC = sinA/sinB,将上式组合起来,可以得到正弦定理的形式:a/sinA= b/sinb = c/sinC。

利用三角形面积公式推导:根据向量叉积的定义,假设三角形ABC的两个向量分别为$\vec{a}$=(x1,y1,z1), $\vec{b}$=(x2,y2,z2),其叉积表示为$\vec{a}$ × $\vec{b}$ = $\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$,可以得到三角形ABC面积的公式为:S = 1/2 |$\vec{a}$ × $\vec{b}$|,对于三角形ABC中的任何一个非直角角度A,可以将其面积分别表示为:S = 1/2 * a * b * sinC = 1/2 * a * c * sinB

将上式两边除以a,再变形,可以得到正弦定理的形式:a/sinA= b/sinb = c/sinC。

利用海伦公式推导:对于三角形ABC,假设其三边长为a、b、c,海伦半周长为p,即:p = (a+b+c)/2,则三角形ABC的面积可以表示为:S = √p(p-a)(p-b)(p-c),对于三角形ABC中的任何一个非直角角度A,可以将其面积表示为:S = 1/2 * a * b * sinC = 1/2 * b * c * sinA,将上式两边除以bc,并将海伦公式代入,可以得到正弦定理的形式:a/sinA= b/sinb = c/sinC。

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